Question

3．已知复数$Z=\frac{{\frac{1}{2}}}{1+i}+（-\frac{5}{4}+\frac{9}{4}i）$
（1）求复数Z的模；
（2）若复数Z是方程2x²+px+q=0的一个根，求实数p，q的值？

Answer 1

分析 （1）先化简复数，再求复数Z的模；
（2）若复数Z是方程2x²+px+q=0的一个根，-6-p+q+（2p-8）i=0，利用复数相等的定义，得：$\left\{\begin{array}{l}-6-p+q=0\\ 2p-8=0\end{array}\right.$，即可求实数p，q的值．

解答 解：（1）$Z=\frac{{\frac{1}{2}}}{1+i}+（-\frac{5}{4}+\frac{9}{4}i）=-1+2i$…（4分）
∴$|Z|=\sqrt{5}$…（6分）
（2）∵复数Z是方程2x²+px+q=0的一个根
∴-6-p+q+（2p-8）i=0…（9分）
由复数相等的定义，得：$\left\{\begin{array}{l}-6-p+q=0\\ 2p-8=0\end{array}\right.$…（11分）
解得：p=4，q=10…（13分）

点评 本题考查求复数Z的模，复数相等的定义，考查学生的计算能力，比较基础．