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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点,
(1)证明:AD⊥平面PAC;
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值.
(1)证明:∵∠ADC=45°,且AD=AC=2,
∴∠DAC=90°,即AD⊥AC
又∵PO⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,
∴PO⊥AD,
又∵AC∩PO=O,
∴AD⊥平面PAC
(2)取DO中点N,连接MN,AN
∵M为PD的中点,∴MNPO,且MN=
1
2
PO=1,
∵PO⊥平面ABCD,∴MN⊥平面ABCD
∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.
在Rt△DAO中,∵AD=2,AO=1,∠DAO=90°,∴DO=
5

∴AN=
1
2
DO=
5
2

在Rt△ANM中,sin∠MAN=
MN
MN2+AN2
=
2
3

即直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为
2
3

练习册系列答案
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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,DD1的中点,AB=BC=2,A1A=2
2

(Ⅰ)求证:EF平面A1BC1
(Ⅱ)在线段BC1是否存在点P,使直线A1P与C1D垂直,如果存在,求线段A1P的长,如果不存在,请说明理由.

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P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,P到B,C,D三点的距离分别是
5
17
13
,则P到A点的距离是______.

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(1)求证:CD平面A1EB;
(2)求证:AB1⊥平面A1EB.

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3
的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.
(1)证明:AC⊥SB;
(2)求三棱锥B-CMN的体积.

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(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE平面BFD;
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在直四棱住ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面是边长为1的正方形,E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点.
(1)求证:平面AD1E平面BGF;
(2)求证:平面AEC⊥面AD1E.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,O为AC与BD的交点.
(1)求证:平面BDF平面B1D1H;
(2)求证:平面BDF⊥平面A1AO;
(3)求证:EG⊥AC.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足______时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

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