Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$；
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求不等式$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$的解集．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$是奇函数，利用定义法能证明f（x）是奇函数．
（2）f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{2x}-1}{{2}^{2x}+1}$=$\frac{{2}^{2x}+1-2}{{2}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$，由$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$，得5≤2^2x+1≤17，由此能耱出不等式$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$的解集．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$是奇函数．
证明如下：
∵函数f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$，∴x∈R，
且f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{2x}-1}{{2}^{2x}+1}$=$\frac{{2}^{2x}+1-2}{{2}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$，
∵2^2x+1是单调递增，∴$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$单调递减，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$是单调递增函数，
∵$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$，∴$\frac{3}{5}$≤1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$$≤\frac{15}{17}$，
∴-$\frac{2}{5}≤-\frac{2}{{2}^{2x}+1}≤-\frac{2}{17}$，∴$\frac{2}{17}≤\frac{2}{{2}^{2x}+1}≤\frac{2}{5}$，
∴5≤2^2x+1≤17，解得1≤x≤2．
∴不等式$\frac{3}{5}$≤f（x）$≤\frac{15}{17}$的解集为[1，2]．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断与证明，考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．