【题目】已知定点、,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设直线与曲线交于、两点,若直线与斜率之积为,求证:直线过定点,并求定点坐标.
【答案】(1)曲线的方程为 ;(2)直线过定点,定点坐标为.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设动点,则 , ,即,化简即可得结果;(Ⅱ)设的方程为,则联立方程组
,消去得 ,设,根据斜率公式及韦达定理可得解得解得 或,验证当时,直线的方程为.直线过定点.
试题解析:(Ⅰ)设动点,则 ,
,即,
化简得: ,由已知,
故曲线的方程为 .
(Ⅱ)由已知直线斜率为0时,显然不满足条件。
当直线 斜率不为0时,设的方程为,则联立方程组
,消去得 ,
设,则,
直线与斜率分别为 , ,
,
由已知得,化简得,解得 或,
当时,直线的方程为过点A,显然不符合条件,故舍去;
当时,直线的方程为.直线过定点.
综上,直线过定点,定点坐标为.
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【题目】数学老师给出一个函数,甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质:甲:在 上函数单调递减;乙:在上函数单调递增;丙:在定义域R上函数的图象关于直线对称;丁:不是函数的最小值.老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确.那么,你认为____说的是错误的.
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【题目】已知各项均为正数的无穷数列的前项和为,且满足(其中为常数), .数列满足.
(1)证明数列是等差数列,并求出的通项公式;
(2)若无穷等比数列满足:对任意的,数列中总存在两个不同的项, 使得,求的公比.
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【题目】某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住2022年冬奥会契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略改革,并提高定价到元.公司拟投入万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
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【题目】某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表:
一次购物款(单位:元) | |||||
顾客人数 |
统计结果显示位顾客中购物款不低于元的顾客占,该商场每日大约有名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于元的顾客发放纪念品.
(Ⅰ)试确定, 的值,并估计每日应准备纪念品的数量;
(Ⅱ)为了迎接春节,商场进行让利活动,一次购物款元及以上的一次返利元;一次购物不超过元的按购物款的百分比返利,具体见下表:
一次购物款(单位:元) | ||||
返利百分比 |
请问该商场日均大约让利多少元?
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【题目】如图,已知椭圆:的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,线段的中点为,直线:交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:点在直线上;
(3)是否存在实数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
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【题目】斜率为k的直线l经过抛物线y=x2的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,若线段|AB|的长为8.
(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程;
(2)求直线的斜率k.
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【题目】已知函数(其中,),记函数的导函数为.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意正实数恒成立?若存在,求出满足条件的实数;若不存在,请说明理由.
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