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10.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1},x≤0}\\{lgx,x>0}\end{array}\right.$,其中a≠0.若f(x)=0,则x=1;若方程f(f(x))=0有唯一解,则实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).

分析 由分段函数式,可得lgx=0,可得x=1;令t=f(x),可得f(t)=0,解得t=1,讨论x的范围,解方程可得x=10,而1+a>0,且a≠0.

解答 解:由函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1},x≤0}\\{lgx,x>0}\end{array}\right.$,
当x≤0时,f(x)≠0;
当x>0时,f(x)=lgx=0,解得x=1;
令t=f(x),由f(f(x))=0,即为f(t)=0,
解得t=1,
由f(x)=1有唯一解,
若x≤0时,$\frac{a}{x-1}$=1,解得x=1+a;
若x>0时,lgx=1,解得x=10.
由方程有唯一解,可得1+a>0,且a≠0.
即有-1<a<0或a>0.
故答案为:1,(-1,0)∪(0,+∞).

点评 本题考查分段函数的运用:解方程,注意运用分类讨论的思想方法,以及转化思想,考查对数的运算性质,属于基础题.

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