Question

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，试证明：对于任意-1≤x≤1，有|f(x)|≤

5

4

．

Answer 1

分析：利用f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，求出a，b，c，代入到函数表达式里，再化简，利用|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，结合配方法，即可得到结论．

解答：证明：∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
∴a=

1

2

[f（1）+f（-1）]-f（0），b=

1

2

[f（1）-f（-1）]，c=f（0）
把它们代入到函数表达式里，再化简，得
|f（x）|=|

1

2

[（x²+x）f（1）]+

1

2

[（x²-x）f（-1）]+（1-x²）f（0）|≤|

x2+x

2

||f（1）|+|

x2-x

2

||f（-1）|+|1-x²||f（0）|
≤|

x2+x

2

|+|

x2-x

2

|+|1-x²|=|

x2+x

2

|+|

x2-x

2

|+1-x²，
当x≤0时，|

x2+x

2

|+|

x2-x

2

|+1-x²=-x²-x+1≤

5

4

当x＞0时，|

x2+x

2

|+|

x2-x

2

|+1-x²=-x²+x+1≤

5

4

．
综上所述，|f(x)|≤

5

4

．

点评：本题考查函数的最值与几何意义，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．