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7.已知集合A={x|$\frac{2x-1}{{x}^{2}+3x+2}$>0},B={x|x2+ax+b≤0},A∩B=($\frac{1}{2}$,3],试求a,b的取值范围.

分析 由A∩B=($\frac{1}{2}$,3]得方程x2+ax+b=0的一根为x1=3,另一根x2∈[-1,$\frac{1}{2}$],这是解决本题的关键.

解答 解:对于集合A,不等式$\frac{2x-1}{{x}^{2}+3x+2}$>0等价为:(2x-1)(x+1)(x+2)>0,
x∈(-2,-1)∪($\frac{1}{2}$,+∞),
又因为,A∩B=($\frac{1}{2}$,3],
所以,方程x2+ax+b=0的一根为x1=3,另一根x2∈[-1,$\frac{1}{2}$],
由根与系数关系,x1+x2=-a=3+x2
所以,x2=-a-3∈[-1,$\frac{1}{2}$],解得a∈[-$\frac{7}{2}$,-2],
又因为x1=3是方程的根,所以9+3a+b=0,
所以,b=-3a-9∈[-3,$\frac{3}{2}$],
综合得,a,b的取值范围分别为[-$\frac{7}{2}$,-2],[-3,$\frac{3}{2}$].

点评 本题主要考查了集合及其运算,一元高次不等式的解法,以及一元二次方程根与系数关系的应用,属于中档题.

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