【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2(n∈N*),数列{bn}满足bn=(2n﹣1)an,数列{bn}的前n项和Tn(n∈N*),
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)求 的最小值以及取得最小值时n的值.
【答案】(1)an=(2n﹣1)2n (2)Tn=(2n﹣3)2n+1+6 (3)n=3时,最小值为16
【解析】
(1)当时,,相减可得,利用等比数列的定义与通项公式,即可得出数列的通项公式,进而可得的通项公式;(2)利用错位相减法,结合等比数列的求和公式,即可得出数列的前项和;(3)利用(2)可得 ,根据基本不等式的性质即可得结果.
(1)当n=1时,S1=2a1﹣2,所以a1=2.
当n≥2时,Sn=2an﹣2, Sn﹣1=2an﹣1﹣2,
两式相减可得,
an=2an﹣2an﹣1,an=2an﹣1,
∴{an}为首项为2,公比为2的等比数列,
∴an=2n
bn=(2n﹣1)2n.
(2)因为Tn=121+322+523+…+(2n﹣3)2n﹣1+(2n﹣1)2n;①
所以2Tn=122+323+…+(2n﹣5)2n﹣1+(2n﹣3)2n+(2n﹣1)2n+1;②
由①﹣②得﹣Tn=2+23+24+…+2n+1﹣(2n﹣1)2n+1,
化简得Tn=(2n﹣3)2n+1+6.
(3)=4n﹣6+,
当,即n=3时,最小值为16.
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【题目】已知曲线的一个最高点为,与点相邻一个最低点为,直线与轴的交点为.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调增区间;
(3)若时,函数恰有一个零点,求实数的取值范围.
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【题目】据调查,某地区有300万从事传统农业的农民,人均年收入6000元,为了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高,而进入企业工作的农民的人均年收入为元.
(1)在建立加工企业后,多少农民进入企业工作,能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大,并求出最大值;
(2)为了保证传统农业的顺利进行,限制农民加入加工企业的人数不能超过总人数的,当地政府如何引导农民,即取何值时,能使300万农民的年总收入最大.
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【题目】若函数的图象上存在关于直线对称的不同两点,则称具有性质.已知为常数,函数,,对于命题:①存在,使得具有性质;②存在,使得具有性质,下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题B.①和②均是假命题
C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题
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【题目】已知函数,的定义域分别为,若存在常数,满足:①对任意,恒有,且.②对任意,关于的不等式组恒有解,则称为的一个“型函数”.
(1)设函数和,求证:为的一个“型函数”;
(2)设常数,函数,.若为的一个“型函数”,求的取值范围;
(3)设函数.问:是否存在常数,使得函数为的一个“型函数”?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名学生作为样本测量身高.测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组;第二组;…;第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组与第八组人数之和为第七组的两倍.
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数;
(2)求第六组和第七组的频率并补充完整频率分布直方图.
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【题目】2012年,在“杂交水稻之父”袁隆平的实验田内种植了,两个品种的水稻,为了筛选出更优的品种,在,两个品种的实验田中分别抽取7块实验田,如图所示的茎叶图记录了这14块实验田的亩产量(单位:),通过茎叶图比较两个品种的均值及方差,并从中挑选一个品种进行以后的推广,有如下结论:①品种水稻的平均产量高于品种水稻,推广品种水稻;②品种水稻的平均产量高于品种水稻,推广品种水稻;③品种水稻比品种水稻产量更稳定,推广品种水稻;④品种水稻比品种水稻产量更稳定,推广品种水稻;其中正确结论的编号为( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
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