Question

11．已知关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{|2x-1|＞3}\\{2{x}^{2}+（2a+5）x+5a＜0}\end{array}\right.$
（1）解集中有且只有一个整数为-3，求a的取值集合．
（2）写出此不等式组的解集．

Answer 1

分析 （1）先化简|2x-1|＞3和2x²+（2a+5）x+5a＜0，根据条件求出2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集，列出不等式组求出a的取值集合；
（2）根据一元二次不等式的解法，对a进行分类讨论求出2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集，由交集的运算求出不等式组的解集．

解答 解：（1）由|2x-1|＞3得，x＜-1或x＞2，
由2x²+（2a+5）x+5a＜0得，（2x+5）（x+a）＜0，
方程2x²+（2a+5）x+5a=0两个根是-a或$-\frac{5}{2}$，
因为不等式组的解集中有且只有一个整数为-3，
所以当$a＞\frac{5}{2}$时，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集为$（-a，-\frac{5}{2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{5}{2}}\\{-4≤-a＜-3}\end{array}\right.$，解得3＜a≤4，
所以a的取值集合是（3，4]；
（2）由（1）得|2x-1|＞3，x＜-1或x＞2，
由2x²+（2a+5）x+5a＜0，得（2x+5）（x+a）＜0，
当$a=\frac{5}{2}$时，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集为∅，
当$a＞\frac{5}{2}$时，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集为$（-a，-\frac{5}{2}）$，
当$a＜\frac{5}{2}$时，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集为$（-\frac{5}{2}，-a）$，
所以不等式组的解集是：
当$a=\frac{5}{2}$时，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集为∅，
当$a＞\frac{5}{2}$时，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集为$（-a，-\frac{5}{2}）$∪（2，+∞），
当1≤$a＜\frac{5}{2}$时，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集为$（-\frac{5}{2}，-a）$∪（2，+∞），
当a＜1时，$（-\frac{5}{2}，-1）$∪（2，+∞）．

点评 本题考查一元二次不等式以及不等式组的解法，以及分类讨论思想，属于中档题．