分析 把n=1,2,3,4时,代入原式计算求出S1,S2,S3,S4的值,通观察归纳出规律再猜想出一般的结论,再利用裂项相消法进行证明.
解答 解:由题意知,Sn=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n×(n+1)}$,
当n=1,2,3,4时,代入原式计算求出的值分别为:
S1=$\frac{1}{2}$,S2=$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$,同理可得S3=$\frac{3}{4}$,S4=$\frac{4}{5}$.…(4分)
观察这4个结果都是分数,每个分数的分子与项数对应,且分子比分母恰好小1.
归纳猜想:Sn=$\frac{n}{n+1}$.…(7分)
证明:∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$,…,$\frac{1}{n×(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$.
∴Sn=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$.…(12分)
点评 本题考查裂项相消法求数列的和,以及归纳推理,考查观察、归纳的能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $-\frac{1}{5}$ | B. | $-\frac{1}{6}$ | C. | $-\frac{1}{7}$ | D. | $-\frac{1}{8}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 30° | B. | 45° | C. | 90° | D. | 60° |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com