Question

4．设S_n=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n×（n+1）}$，求出S₁，S₂，S₃，S₄的值，归纳并猜想出结果．并证明所猜想出结果的正确性．

Answer 1

分析 把n=1，2，3，4时，代入原式计算求出S₁，S₂，S₃，S₄的值，通观察归纳出规律再猜想出一般的结论，再利用裂项相消法进行证明．

解答 解：由题意知，S_n=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n×（n+1）}$，
当n=1，2，3，4时，代入原式计算求出的值分别为：
S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$，同理可得S₃=$\frac{3}{4}$，S₄=$\frac{4}{5}$．…（4分）
观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1．
归纳猜想：S_n=$\frac{n}{n+1}$．…（7分）
证明：∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，…，$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．…（12分）

点评 本题考查裂项相消法求数列的和，以及归纳推理，考查观察、归纳的能力，属于中档题．