Question

若向量

a

=（x，2x）与

b

=（-3x，2）的夹角是钝角，则x的范围是

（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，0）（

4

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：由题意可得 cosθ＜0 且

a

和

b

不共线，故有 2x≠2x•（-3x），

a • b

| a |•| b |

＜0，即  x≠0，x≠-

1

3

，且

a

•

b

=-3x²+4x＜0，由此求得x的范围．

解答：解：∵向量

a

=（x，2x）与

b

=（-3x，2）的夹角是钝角，设两个向量的夹角为θ，则有cosθ＜0 且

a

和 

b

不共线，
∴2x≠2x•（-3x），

a • b

| a |•| b |

＜0，即 x≠0，x≠-

1

3

，且

a

•

b

=-3x²+4x＜0．
解得 x＜0，且 x≠-

1

3

，或 x＞

4

3

，故x的范围是 （-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，0）（

4

3

，+∞），
故答案为 （-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，0）（

4

3

，+∞）．

点评：本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，两个向量共线的性质，易错误地认为

a

与

b

夹角是钝角?

a

•

b

＜0（应排除两个向量反向共线的情形），属于中档题．