已知动点P(x,y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y=-1的距离相等,记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设圆M过点A(0,2),且圆心M(a,b)在曲线C上,若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0),求线段EG的长度.
【答案】
分析:(1)根据抛物线的定义可知曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,进而求得p,则抛物线方程可得.
(2)表示出圆的半径,则圆的方程可得,令y=0,根据韦达定理求得x
1+x
2和x
1•x
2的表达式,进而求得(x
1-x
2)
2,把点M代入抛物线方程求得a和b的关系,进而求得|x
1-x
2|的值.
解答:解:(1)依题意知,曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线
∵焦点到准线的距离p=2
∴曲线C方程是x
2=4y
(2)∵圆M的半径为
∴其方程为(x-a)
2+(y-b)
2=a
2+(b-2)
2令y=0得:x
2-2ax+4b-4=0
则x
1+x
2=2a,x
1•x
2=4b-4
∴(x
1-x
2)
2=(x
1+x
2)
2-4x
1•x
2=(2a)
2-4(4b-4)=4a
2-16b+16
又∵点M(a,b)在抛物线x
2=4y上,∴a
2=4b,
∴(x
1-x
2)
2=16,即|x
1-x
2|=4
∴线段EG的长度是4.
点评:本题主要考查了圆方程得综合应用,抛物线的定义,抛物线的简单性质.