Question

已知函数f（x）=ax³+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函g(x)=-

1

2

x3+

3

2

x+t-

3

t

(t∈R，t≠0)
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=-f（x）解出c，由f（1）=-1及f′（1）=0解出a和b，可得函数f（x）的解析式．
（2）设h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x-t+

3

t

，则h'（x）=3x²-3，由h′（x）的符号确定h（x）的单调性，从而确定h（x）的最小值，由题意知，任意x∈[-2，2]，h（x）的最小值大于0，解此不等式，求出t的取值范围．

解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得：c=0，
由

f′(1)=3a+b=0 f(1)=a+b=-1

?

a= 1 2 b=- 3 2

∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x
经检验在x=1时，f（x）有极小值-1，
∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x
（2）设h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x-t+

3

t

，则h'（x）=3x²-3，
令h'（x）=3x²-3＞0得x＞1或x＜-1，
令h'（x）=3x²-3＜0得-1＜x＜1
所以h（x）在区间[-2，-1]及[1，2]上的增函数，在区间[-1，1]上的减函数，
∴h(x)min=min{h(-2)，h(1)}=h(1)=-2-t+

3

t

使对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），则h(1)=-2-t+

3

t

＞0
解得t＜-3或0＜t＜1∴t∈（-∞，-3）∪（0，1）

点评：本题考查用待定系数法求函数解析式，函数在某个点取极值的条件，以及函数的恒成立问题．