Question

5．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax-lnx}{{e}^{x}}$（其中e是自然对数的底数，a∈R）．
（ I）若曲线f（x）在x=l处的切线与x轴不平行，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，可得f′（1）=0，得到曲线f（x）在x=1处的切线方程为y=$\frac{1+a}{e}$，结合切线与x轴不平行，可得$\frac{1+a}{e}=0$，从而求得a值；
（Ⅱ）由f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，设h（x）=$-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}$，求出h′（x），可知h′（x）在（0，1]上是减函数，从而h′（x）＞h′（1）=2-a．
然后分当2-a≥0，和2-a＜0分类研究函数的单调性得答案．

解答 解：（Ⅰ）依题意，f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，
f′（1）=0，且曲线f（x）在x=1处的切线方程为y=$\frac{1+a}{e}$，
∵切线与x轴不平行，故切线与x轴重合，∴$\frac{1+a}{e}=0$，即a=-1；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，
设h（x）=$-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}$+lnx，则h′（x）=-2x+（2-a）+$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$．
h′（x）在（0，1]上是减函数，从而h′（x）＞h′（1）=2-a．
①当2-a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上为增函数．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴f（x）在（0，1]上是减函数．
∴a≤2满足题意；
②当2-a＜0，即a＞2时，设函数h′（x）的唯一零点为x₁，
则h（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，1）上递减．
又∵h（1）=0，∴h（x₁）＞0．
又∵h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a=-e^-2a+（2-a）e^-a-e^a＜0，
∴h（x）在（0，1）内由唯一一个零点x′，
当x∈（0，x′）时，h（x）＜0，当x∈（x′，1）时，h（x）＞0．
从而f（x）在（0，x′）上递减，在（x′，1）上递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综上，a的最大值为2．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，体现了分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力及推理运算能力，属难题．