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【题目】如图,在平面直角坐标系中,锐角的终边分别与单位圆交于两点.

1如果点的横坐标为,求的值;

2若角的终边与单位圆交于C点,设角的正弦线分别为,求证:线段能构成一个三角形;

3探究第2小题中的三角形的外接圆面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

【答案】12证明详见解析;3.

【解析】

试题分析:1由同角间基本关系式,由可得据三角函数定义可得,由两角和的余弦公式将展开代入可得其值;2由题意知.再利用正余弦值证明两边之和大于第三边和二边之差小于第三边,可判断三条线段能构成一个三角形;3的边长分别为,由余弦定理可得,进一步得,再由正弦定理,可得值.

试题解析:

1已知是锐角,根据三角函数的定义,得

,且是锐角,所以

所以

2证明:依题意得,

因为,所以,于是有

同理,

可得,线段能构成一个三角形.

32小题中的三角形的外接圆面积是定值,且定值为.

不妨设的边长分别为,其中角的对边分别为.则由余弦定理,得:.

因为,所以,所以

的外接圆半径为R,由正弦定理,得

所以的外接圆的面积为.

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