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13.设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,点O为坐标原点,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点,N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.

分析 (1)通过题意,利用$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$,可得点M坐标,利用直线OM的斜率为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$,计算即得结论;
(2)通过中点坐标公式解得点N坐标,利用$\frac{5b}{a}$×($-\frac{b}{a}$)=-1,即得结论.

解答 (Ⅰ)解:设M(x,y),已知A(a,0),B(0,b),由|BM|=2|MA|,
所以$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$,即(x-0,y-b)=2(a-x,0-y),
解得x=$\frac{2}{3}$a,y=$\frac{1}{3}$b,即可得$M(\frac{2a}{3},\frac{b}{3})$,┅┅┅┅┅┅┅(3分)
所以$\frac{b}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,所以椭圆离心率$\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$;┅┅┅┅┅┅┅(6分)
(Ⅱ)证明:因为C(0,-b),所以N$(\frac{a}{2},-\frac{b}{2})$,MN斜率为$\frac{5b}{a}$,┅┅┅┅┅┅┅(9分)
又AB斜率为$-\frac{b}{a}$,所以$\frac{5b}{a}$×($-\frac{b}{a}$)=-1,所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅(12分)

点评 本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、注意解题方法的积累,属于中档题.

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