Question

7．已知集合M={x|x＜-3或x＞5}，P={x|（x-a）（x-8）≤0}．
（1）求M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件；
（2）若x∈M是x∈P的一个必要但不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中集合M={x|x＜-3，或x＞5}，P={x|（x-a）•（x-8）≤0}，结合二次不等式的解集，分a≥8，5＜a＜8，-3≤a≤5，a＜-3，几种情况分析M∩P={x|5＜x≤8}是否成立，可得结论；
（2）通过讨论a的范围，求出关于p的不等式的解集，结合p?M，求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵集合M={x|x＜-3，或x＞5}，P={x|（x-a）•（x-8）≤0}．
若a≥8，则M∩P={x|8≤x≤a}，不满足条件；
若5＜a＜8，则M∩P={x|a＜x≤8}，不满足条件；
若-3≤a≤5，则M∩P={x|5＜x≤8}，满足条件；
若a＜-3，则M∩P={x|a＜x＜-3，或5＜x≤8}，不满足条件；
故M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件为a∈[-3，5]；
（2）若x∈M是x∈P的一个必要但不充分条件，即p?M，
a≤8时：p：a≤x≤8，则a＞5，
a＞8时：p：8≤x≤a，a＞8即可，
综上a＞5．

点评 本题考查的知识点是充要条件的定义，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题型．