Question

已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内．当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4+4

3

，则球O的体积等于（　　）

• A．

  4 2 π

  3

• B．

  8 2 π

  3

• C．

  16 2 π

  3

• D．

  32 2 π

  3

Answer 1

分析：当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于4+4

3

，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为R，从而可求球的体积．

解答：解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，
∵该四棱锥的表面积等于4+4

3

，

设球O的半径为R，则AC=2R，SO=R，如图，
∴该四棱锥的底面边长为 AB=

2

R，
则有(

2

R)2+4×

1

2

×

2

R×

( 2 R 2 )2+R2

=4+4

3

，

∴R=

2

∴球O的体积是

4

3

πR3=

8 2 π

3

．
故选B．

点评：本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解．