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设2a+1,a,2a-1为△ABC三边的长.
(1)求实数a的范围;
(2)若△ABC为钝角三角形,求实数a的取值范围.
【答案】分析:(1)根据三角形的三边关系:两边之和大于第三边,可得,∴2a+1+a>2a-1,a+2a-1>2a+1,2a+1+2a-1>a,由此求得实数a的取值范围.
(2)若△ABC为钝角三角形,由题意可得2a+1为最大边,设最大边对应的角为θ,由余弦定理可得 cosθ=<0,解得 <a<8.再由cosθ≠-1,解得 a≠-2.结合(1)的结论,可得实数a的取值范围.
解答:解:(1)∵2a+1,a,2a-1为△ABC三边的长,∴2a+1+a>2a-1,a+2a-1>2a+1,2a+1+2a-1>a,
解得 a>2.
∴实数a的范围 (2,+∞).
(2)若△ABC为钝角三角形,由题意可得2a+1为最大边,设最大边对应的角为θ,
∴由余弦定理可得 cosθ===<0,解得 <a<8.
再由cosθ≠-1,即 ≠-1,解得 a≠-2.
再由(1)可得,a>2.
综上可得 2<a<8,实数a的取值范围为(2,8).
点评:本题主要考查余弦定理的应用,须牢记三角形的三边关系为:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,属于中档题.
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