Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，AB=2

2

，M，N分别是棱CC₁，AB中点．
（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-AMN的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题可得AA₁⊥CN且CN⊥AB又因为AA₁∩AB=A所以CN⊥平面ABB₁A_1．
（Ⅱ）由题意得CM∥NG，CM=NG所以四边形CNGM是平行四边形，所以CN∥MG．又因为CN?平面AMB₁，GM?平面AMB₁，所以CN∥平面AMB₁．
（Ⅲ）VB1-AMN=VM-AB1N所以先求△AB₁N的面积，由（Ⅱ）知GM⊥平面AB₁N，三棱锥的高是GM，所以根据三棱锥的体积公式可得体积为

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC
又因为CN?平面ABC，所以AA₁⊥CN．
因为AC=BC=2，N是AB中点，
所以CN⊥AB．
因为AA₁∩AB=A，
所以CN⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）证明：取AB₁的中点G，连接MG，NG，
因为N，G分别是棱AB，AB₁中点，
所以NG∥BB₁，NG=

1

2

BB1．
又因为CM∥BB₁，CM=

1

2

BB1，
所以CM∥NG，CM=NG．
所以四边形CNGM是平行四边形．
所以CN∥MG．
因为CN?平面AMB₁，GM?平面AMB₁，
所以CN∥平面AMB₁．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB₁N．
所以VB1-AMN=VM-AB1N=

1

3

×

1

2

×

2

×4×

2

=

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：证明线面垂直关键是证明已知直线与面内的两条相交直线都垂直即可，证明线面平行关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行；求三棱锥的体积时若不易求出一般是先观察一下是否换一个底面积与高都容易求的定点．