Question

4．已知函数f（x）=|2x+1|-|x|-2．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若?x∈R，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得|2x+1|-2|x|≤a+2有解，再利用绝对值三角不等式求得|2x+1|-2|x|的最小值，可得m的范围．

解答 解：（1）不等式f（x）≥0，即|2x+1|-|x|≥2，
故有$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（-x）≥2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤0}\\{2x+1-（-x）≥2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x+1-x≥2}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-3，解②求得x∈∅，解③求得x≥1，
综上可得，不等式的解集为{x|x≤-3或 x≥1 }．
（2）若?x∈R，使得f（x）≤|x|+a，即|2x+1|-2|x|≤a+2有解．
再根据|2x+1|-2|x|≥-（|2x+1-（2x）|=-1，∴a+2≥-1，∴a≥-3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．