Question

【题目】已知函数．

（1）将函数写成分段函数的形式，并画出函数的大致图像；

（2）求证：函数在上是增函数；

（3）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析：⑴由题意得到，画出其图象；

⑵先求出，运用定义法证明在上是增函数

⑶设，转化为关于的方程在上仅有一个实根，结合图像与性质可得或，即可求得结果

解析：（1）解：由题设得；

其图像如下图所示．

（2）证明：当时， ，所以， ．

任取，且，则

又，且，

所以， ， 可得，即，

因此函数在上是增函数．

（3）设．由（1）得．

且时，方程有两个不相等的实根．

又关于的方程在区间上有两个不相等的实根，

所以关于的方程在上仅有一个实根，且1不可为其根．

由于0不是方程的根，则关于的方程在上仅有一个实根，且1不可为其根．

令．

由其图像与性质可得或．

解得或．

所以所求实数的取值范围是．