Question

眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化“知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
（I）分别求“甲队得2分乙队得1分”和“甲队得3分乙队得0分”的概率；
（II）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

解：（Ⅰ）记甲队得2分乙队得1分为事件A，记甲队得3分乙队得0分为事件B；
甲队得2分的概率P₁=C₃²×（）²×（1-）=，
乙队的1分的概率P₂=×（1-）×（1-）+（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×=，
则P（A）=×=；
甲队得3分的概率P₃=C₃³×（）³=，
乙队的0分的概率P₄=（1-）×（1-）×（1-）=，
则P（B）=×=；
（Ⅱ）由题意，ξ可取的值为0、1、2、3，
ξ=0，即甲队得0分，3人都回答错误，，
ξ=1，即甲队得1分，3人中只有1人回答正确，，
ξ=2，即甲队得2分，3人中只有2人回答正确，，
ξ=3，即甲队得3分，3人都回答正确，．
所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为．
分析：（Ⅰ）记甲队得2分乙队得1分为事件A，记甲队得3分乙队得0分为事件B；分别由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算甲队得2分的概率P₁、乙队的1分的概率P₂、甲队得3分的概率P₃、乙队的0分的概率P₄，进而由相互独立事件概率的乘法公式计算可得答案；
（Ⅱ）由题意，ξ可取的值为0、1、2、3，由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=3）、P（ξ=4），进而可得ξ的分步列，进而由期望公式，计算可得答案．
点评：本题考查相互独立重复事件的概率计算，离散变量的分步列、期望的计算，解题时要明确事件之间的关系并准确计算．