Question

（2012•威海二模）已知函数f（x）=alnx+

a+1

2

x2+1．
（Ⅰ）当a=-

1

2

时，求f（x）在区间[

1

e

，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当-1＜a＜0时，有f（x）＞1+

a

2

ln（-a）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[

1

e

，e]上的最值；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当-1＜a＜0时，f（x）_min=f（

-a a+1

），即原不等式等价于f（

-a a+1

）＞1+

a

2

ln（-a），由此可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=-

1

2

时，f(x)=-

1

2

lnx+

x2

4

+1，∴f′(x)=

x2-1

2x

．
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．---------------------------（2分）
∴f（x）在区间[

1

e

，e]上的最值只可能在f（1），f（

1

e

），f（e）取到，
而f（1）=

5

4

，f（

1

e

）=

3

2

+

1

4e2

，f（e）=

1

2

+

e2

4

，
∴f（x）_max=f（e）=

1

2

+

e2

4

，f（x）_min=f（1）=

5

4

．---------------------------（4分）
（Ⅱ）f′(x)=

(a+1)x2+a

x

，x∈（0，+∞）．
①当a+1≤0，即a≤-1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；-------------（5分）
②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；----------------（6分）
③当-1＜a＜0时，由f′（x）＞0得x2＞

-a

a+1

，∴x＞

-a a+1

或x＞-

-a a+1

（舍去）
∴f（x）在（

-a a+1

，+∞）单调递增，在（0，

-a a+1

）上单调递减；--------------------（8分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当-1＜a＜0时，f（x）在（

-a a+1

，+∞）单调递增，在（0，

-a a+1

）上单调递减；当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；-----------------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当-1＜a＜0时，f（x）_min=f（

-a a+1

）
即原不等式等价于f（

-a a+1

）＞1+

a

2

ln（-a）--------------------------（10分）
即aln

-a a+1

+

a+1

2

-

-a

a+1

+1＞1+

a

2

ln（-a）
整理得ln（a+1）＞-1
∴a＞

1

e

-1，----------------------------（11分）
又∵-1＜a＜0，∴a的取值范围为（

1

e

-1，0）．---------------------------（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求函数的最值是关键．