Question

由不等式组

x-y+5≥0 y≥t 0≤x≤2

围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于t的函数P（t），则（　　）

A．P′（t）＞0

B．P′（t）＜0

C．P′（t）=0

D．P′（t）符号不确定

Answer 1

分析：根据题意，分析t的取值范围，再设区域边界的三条直线的交点分别为ABC，结合图形易得△ABC是等腰直角三角形，且AB=7-t，即可得其面积，又由直角三角形的性质，可得其内切圆的半径，进而可得其面积，由几何概型可得点落在圆内的概率，可得求得P（t），由导数的计算可得p′（t），即可得答案．

解答：解：根据题意，设直线x-y+5=0与x=2交于点A，易得A（2，7），
若不等式组

x-y+5≥0 y≥t 0≤x≤2

能围成的三角形区域，易得5＜t＜7，
则其边界直线为y=t，x-y+5=0，x=2，设x-y+5=0与y=t交于点C，x=2与y=t交于点B，则B（2，t）
分析可得△ABC是等腰直角三角形，且AB=7-t，
则其面积为S=

1

2

（7-t）²，
易得内接圆半径r=

(2- 2 )(7-t)

2

，
其面积为S₁=

1

4

π（2-

2

）²（7-t）²，
p（t）=

S1

S

=

6-4 2

4

，该值与t无关，
所以P′（t）=0．
故选C．

点评：本题考查几何概型的计算，关键在于发现三角形ABC为直角等腰三角形，进而可以求出其面积与内接圆的面积．