【题目】已知函数f(x)=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ +1(a>0,ω>0)的最大值为3,最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)若f(θ)= ,求sin(4θ+ )的值.
(3)若存在区间[a,b](a,b∈R,且a<b)使得y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,在满足上述条件的[a,b]中,求b﹣a的最小值.
【答案】
(1)解:f(x)=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ +1=asin2ωx+ cos2ωx+1= sin(2ωx+φ)+1,
∵f(x)的最大值为3,最小正周期为π.
∴ +1=3, =π,a>0,ω>0.
解得a=1,ω=1.
∴f(x)=2sin +1.
令2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
解得 ≤x≤kπ+ ,
可得函数f(x)的单调增区间为 ,k∈Z.
(2)解:∵f(θ)= ,
∴2sin = ,即sin = ,
∴sin(4θ+ )=sin =﹣cos = ﹣1=2× ﹣1=﹣ .
(3)解:令f(x)=0,可得sin =﹣ ,∴x=k ,或x=kπ﹣ ,
故相邻的零点之间的间隔依次为 , .
y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,等价于b﹣a的最小值为 +3× =
【解析】(1)利用倍角公式与和差公式可得:f(x)= sin(2ωx+φ)+1,根据f(x)的最大值为3,最小正周期为π.可得 +1=3, =π,a>0,ω>0.即可得出.再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间.(2)由f(θ)= ,可得sin = ,利用诱导公式与倍角公式即可得出.(3)令f(x)=0,可得sin =﹣ ,x=k ,或x=kπ﹣ ,故相邻的零点之间的间隔依次为 , .即可得出.
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【题目】已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位:千米/小时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2+ )升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
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【题目】2014年推出一种新型家用轿车,购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽车油费共0.7万元,
汽车维修费为:第一年无维修费用,第二年为0.2万元,从第三年起,每年的维修费用均比上一年增加0.2万元
(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用,保险费,养路费,汽车费及维修费)为f(n),求f(n)的表达式.
(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年,年平均费用最少)?
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【题目】(本题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,离心率为的椭圆 的左顶点为,过原点的直线(与坐标轴不重合)与椭圆交于两点,直线分别与轴交于两点.若直线斜率为时, .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试问以为直径的圆是否经过定点(与直线的斜率无关)?请证明你的结论.
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),
第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示.
(1)分别求第3,4,5组的频率;
(2)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在(2)的前提下,学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试,求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率.
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【题目】甲、乙两位“准笑星”在“信阳笑星”选拔赛中,5位评委给出的评分情况如图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为 、 ,记甲、乙两人得分的标准差分别为s1、s2 , 则下列判断正确的是( )
A.< ,s1<s2
B.< ,s1>s2
C.> ,s1<s2
D.> ,s1>s2
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【题目】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶120千米(50≤x≤100)(单位:千米/小时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时12元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
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