Question

2．设f（x）=2+5x+10x²+10x³+5x⁴+x⁵，则其反函数的解析式为（　　）

• A． $y=1+\root{5}{x-1}$
• B． $y=1-\root{5}{x-1}$
• C． $y=-1+\root{5}{x-1}$
• D． $y=-1-\root{5}{x-1}$

Answer 1

分析 根据二项式定理：（1+x）⁵=1+5x+10x²+10x³+5x⁴+x⁵，原函数可写成y=1+（1+x）⁵，再求其反函数即可．

解答 解：因为y=f（x）=2+5x+10x²+10x³+5x⁴+x⁵
=1+[1+5x+10x²+10x³+5x⁴+x⁵]=1+（1+x）⁵，
即y=1+（1+x）⁵，所以，1+x=$\root{5}{y-1}$，
因此，x=-1+$\root{5}{y-1}$，
再交换x，y得，y=-1+$\root{5}{x-1}$，
所以，f（x）的反函数的解析式为f^-1（x）=-1+$\root{5}{x-1}$，x∈R，
故答案为：C．

点评 本题主要考查了反函数及其解法，涉及二项式定理的应用，根式的运算和函数定义域与值域的确定，属于中档题．