Question

(本题满分15分) 已知直线l₁：x＝my与抛物线C：y²＝4x交于O (坐标原点)，A两点，直线l₂：x＝my＋m 与抛物线C交于B，D两点．
(Ⅰ) 若 | BD | ＝ 2 | OA |，求实数m的值；
(Ⅱ) 过A，B，D分别作y轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，D₁．记S₁，S₂分别为三角形OAA₁和四边形BB₁D₁D的面积，求的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ) m＝
(Ⅱ) 的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞)

(Ⅰ) 解: 设B(x₁，y₁)， D(x₂，y₂)，
由 得
，
由Δ，得或，
且y₁＋y₂＝4m， y₁y₂＝－4m．
又由 得
y²－4my＝0，
所以y＝0或4m．
故A (4m²，4m)．
由 | BD |＝2 | OA |，得
(1＋m²)(y₁－y₂)²＝4 (16m⁴＋16m²)，
而 (y₁－y₂)²＝16m²＋16m，
故m＝．       ………………………… 6分
(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得
x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)＋2m＝4m²＋2m．
所以＝ 
＝
＝
＝．
令＝t，
因为或，
所以－1＜t＜0或t＞0．
故 ＝，
所以 0＜＜1 或 ＞1，
即 0＜＜1 或 ＞1．
所以，的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞)．　　………………………15分