Question

11．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ-3=0，直线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=k+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），若两曲线有公共点，则k的取值范围是（　　）

• A． k∈R
• B． k＞4
• C． k＜-4
• D． -4≤k≤4

Answer 1

分析 由已知得曲线C₁是以（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线C₂消去参数，得其普通方程为$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+k=0$，由两曲线有公共点，得圆心（-1，0）到直线$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+k=0$的距离小于等于半径，由此能求出k的取值范围．

解答 解：∵曲线C₁的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ-3=0，
∴曲线C₁的普通方程为x²+y²+2x-3=0，即（x+1）²+y²=4，
∴C₁是以（-1，0）为圆心，2为半径的圆，
∵直线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=k+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线C₂消去参数，得其普通方程为$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+k=0$，
∵两曲线有公共点，
∴圆心（-1，0）到直线$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+k=0$的距离d=$\frac{|-\sqrt{3}+\sqrt{3}+k|}{2}$≤2，
∴-4≤k≤4，
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程、极坐标方程、普通方程的互化及点到直线的距离公式的合理运用．