Question

等差数列{a_n}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，S₅=a₃²
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求证：对于任意的正整数m，l，数列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能为等比数列．
（3）若对于任意给定的正整数m，都存在正整数l，使数列a_m，a_m+l，a_m+kl为等比数列，求正常数k的取值集合．

Answer 1

（1）由等差数列{a_n}是递增数列，可设{a_n}的公差为d（d＞0），
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，S₅=a₃²，
∴

a22=a1a5 5a3=a32

，
解得

a1=1 d=2

，∴a_n=2n-1．
（2）假设存在正整数m，l，使数列a_m，a_m+l，a_m+2l为等比数列，
则a_m+l²=a_ma_m+2l，而a_n=2n-1，
∴[2（m+l）-l]²=（2m-1）[2（m+2l）-l]，
解得l=0，与l为正整数矛盾，故假设不成立，
对于任意的正整数m，l，数列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能为等比数列．
（3）∵a_m=2m-1，a_m+l=2m+2l-1，a_m+kl=2m+2kl-1，
数列a_m，a_m+l，a_m+kl为等比数列的充要条件是（2m+2l-1）²=（2m-1）（2m+2kl-1），
∴4（2m-1）l+4l²=（2m-1）2kl，
∵l为正整数，∴2（2m-1）+2l=（2m-1）k，
即（2m-1）（k-2）=2l，
对于任意给定的正整数m，2m-1为奇数，而2l为偶数，
∴k-2为偶数，
记k-2=2t（t∈N⁺），
即k=2+2t，t∈N⁺，
此时l=（2m-1）t∈N⁺，
综上所述，正整数k的取值集合为{k|k=2+2t，t∈N^*}．