Question

1．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数g（x）=f（x）-2x的值域．

Answer 1

分析 （1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果；
（2）求得二次函数g（x）的解析式，求得对称轴，可得[-1，]为减区间，即可得到最值，进而得到值域．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0），
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因为f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根据系数对应相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²-x+1；
（2）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-2x=x²-3x+1
=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
对称轴为x=$\frac{3}{2}$，区间[-1，1]在对称轴的左边，为减区间，
即有x=-1时取得最大值，且为5，x=1时取得最小值，且为-1．
故值域为[-1，5]．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查二次函数的值域的求法，注意运用函数的单调性，属于基础题．