Question

【题目】已知函数f（x）= （a≠0）．
（1）试讨论y=f（x）的极值；
（2）若a＞0，设g（x）=x2emx ， 且任意的x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）﹣g（x2）≥﹣1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣ ，

a＞0时，当x=﹣1时，f（x）的极小值为f（﹣1）=﹣ ，

当x=1时，f（x）的极大值为f（1）= ，

a＜0时，当x=﹣1时，f（x）的极大值为f（﹣1）=﹣ ，

当x=1时，f（x）的极小值为f（1）=

（2）解：方法一：由题意知，x1，x2∈[0，2]，

f（x）min（x1）+1≥gmax（x2），

x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1，

x∈[0，2]，x2emx≤1，m≤﹣ ，m≤{﹣ }min，m≤﹣ln2，

方法二：分类讨论

x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1，

∴x∈[0，2]，gmax（x）≤1，

g（x）=x2emx，g′（x）=emxx（mx+2），

1）当m≥0时，g（x）在[0，2]上单调递增，

gmax（x）=g（2）=4e2m≤1，解得：m≤﹣ln2（舍），

2）当﹣1＜m＜0时，g（x）在[0，2]上单调递增，

gmax（x）=g（2）=4e2m≤1，解得：m≤﹣ln2，

∴﹣1＜m≤﹣ln2，

3）当m≤﹣1时，g（x）在[0，﹣ ]上单调递增，在[﹣ ，2]上单调递减，

gmax（x）=g（﹣ ）= ≤1，解得：m≤﹣ ，∴m≤﹣1，

综合得：m≤﹣ln2．

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的极值即可；（2）结合题意得到f（x）min（x1）+1≥gmax（x2），法一：分离参数问题转化为m≤﹣ ，从而求出m的范围即可；法二：通过分类讨论求出m的范围即可．
【考点精析】掌握函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．