设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)≤2x-2.
(1) a=-1,b=3. (2)利用导数证明。
解析试题分析: (1)f ′(x)=1+2ax+.(1分)
由已知条件得即
解得a=-1,b=3. (4分)
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),
由(1)知f(x)=x-x2+3lnx.
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则
g′(x)=-1-2x+=-. (6分)
当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.(8分)
而g(1)=0,故当x>0时,g(x)≤0,即f(x)≤2x-2. (10分)
考点:本题主要考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值,不等式组的证明。
点评:中档题,导数的应用是高考必考内容,思路往往比较明确根据导数值的正负,确定函数的单调性。定义不懂事的证明问题,往往通过构造函数,转化成求函数的最值,使问题得解。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
理科已知函数,当时,函数取得极大值.
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(Ⅲ)已知正数满足求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,。
(1)若对任意的实数a,函数与的图象在x = x0处的切线斜率总想等,求x0的值;
(2)若a > 0,对任意x > 0不等式恒成立,求实数a的取值范围。
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