Question

（理）已知平面内动点P（x，y）到定点与定直线l：的距离之比是常数．
（ I）求动点P的轨迹C及其方程；
（ II）求过点Q（2，1）且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（ I）利用双曲线定义，可知到定点与定直线l：的距离之比是常数的点的轨迹为双曲线，在利用求双曲线方程的方法去解即可．
（ II）与双曲线C有且仅有一个公共点的直线有两种，一种是与双曲线相切，一种是平行渐近线，分两种情况考虑即可．
解答：解：（ I）∵，
∴轨迹C为以F为右焦点，l为右准线的双曲线．
设双曲线C方程为，则，
∴a²=4．
∴b²=c²-a²=5-4=1．
∴双曲线方程为．
（Ⅱ）（1）若所求直线斜率不存在时，直线x=2满足题意．
（2）若所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y-1=k（x-2），
代入曲线方程，得：，
化简得：（1-4k²）x²+8k（2k-1）x-4（2k-1）²-4=0，
①当（1-4k²）=0时，即时，
∵（2，1）在渐近线上，∴时不适合，舍去.时，直线平行于渐近线，满足题意，
故所求直线方程为，即．
②当（1-4k²）≠0时，由△=64k²（2k-1）²-16（4k²-1）（4k²-4k+2）=0，
得（舍去），综上所述，所求直线方程为．
点评：本题考查了双曲线方程的求法，以及直线与双曲线位置关系的判断，计算量较大，应认真计算．