Question

在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB=

4

5

且△ABC的面积为

3

2

，求b．

Answer 1

分析：由三角形面积公式和a、b、c成等差数列，联解得出a²+c²=4b²-

15

2

．由角B为锐角可得cosB=

1-sin2B

=

3

5

，由余弦定理b²=a²+c²-2ac•cosB的式子，代入数据算出b²=4，从而得到b=2．

解答：解：∵由a、b、c成等差数列，得a+c=2b
∴平方得a²+c²=4b²-2ac------①…（2分）
又∵S_△ABC=

3

2

且sinB=

4

5

，
∴S_△ABC=

1

2

ac•sinB=

1

2

ac×

4

5

=

2

5

ac=

3

2

故ac=

15

4

-------②…（4分）
由①②联解，可得a²+c²=4b²-

15

2

-------③…（5分）
又∵sinB=

4

5

，且a、b、c成等差数列
∴cosB=

1-sin2B

=

1- 16 25

=

3

5

．…（8分）
由余弦定理得：
b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-2×

15

4

×

3

5

=a²+c²-

9

2

-------④…（10分）
由③④联解，可得b²=4，所以b=2．…（12分）

点评：本题给出三角形的三边成等差数列，在已知B的正弦和面积情况下求边长．着重考查了等差数列的性质、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．