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    设数列｛an｝满足an+1=an2－nan+1，n=1，2，3，….

    （1）当a1=2时，求a2、a3、a4，并由此猜想出an的一个通项公式；

    （2）当a1≥3时，证明所有n≥1，有an≥n+2.

    （1）解：由a1=2，得a2=a12－a1+1=3；由a2=3，得a3=a22－2a2+1=4；由a3=4，得a4=a32－3a3+1=5.由此猜想an的一个通项公式an=n+1（n≥1）.

    （2）证明：①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立.

    ②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2，那么ak+1=ak（ak－k）+1≥（k+2）（k+2－k）+1≥k+3.也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+2.

    由①和②知对所有n≥1，有an≥n+2.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n），
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）试构造一个数列{bn}，（写出{bn}的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有bn＜an，且
    lim
    n→∞
    an
    bn
    =2，并说明理由；
    （3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci-ci+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令cn=1-
    a
    an
    （n为正整数），求数列{cn}的变号数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
    1
    an
    ，记数列{an}的前n项之积为Πn，则Π2011的值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•天津模拟）设数列{an} 满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a、c为实数，且c≠0．
    （1）求数列{an} 的通项公式；
    （2）设a=
    1
    2
    ，c=
    1
    2
    ，bn=n（a-an）（n∈N*），求数列 {bn}的前n项和Sn．
    （3）设a=
    3
    4
    ，c=-
    1
    4
    ，cn=
    3+an
    2-an
    （n∈N*），记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
    3
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•南京一模）已知函数f（x）=2+
    1
    x
    ．数列{an}中，a1=a，an+1=f（an）（n∈N*）．当a取不同的值时，得到不同的数列{an}，如当a=1时，得到无穷数列1，3，
    7
    3
    ，
    17
    7
    ，…；当a=-
    1
    2
    时，得到有穷数列-
    1
    2
    ，0．
    （1）求a的值，使得a3=0；
    （2）设数列{bn}满足b1=-
    1
    2
    ，bn=f(bn+1)(n∈N*)    ，求证：不论a取{bn}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{an}；
    （3）求a的取值范围，使得当n≥2时，都有
    7
    3
    ＜an    ＜3．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•嘉定区一模）（理）已知函数f(x)=log2
    		2
    x
    1-x
    ，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）图象上两点．
    （1）若x1+x2=1，求证：y1+y2为定值；
    （2）设Tn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求Tn关于n的解析式；
    （3）对（2）中的Tn，设数列{an}满足a1=2，当n≥2时，an=4Tn+2，问是否存在角a，使不等式(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )    …(1-
    1
    an
    )＜
    sinα
    		2n+1
    对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．

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