Question

已知向量

AB

=（3，1），

AC

=（-1，a），a∈R
（1）若D为BC中点，

AD

=（m，2），求a、m的值；
（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意和向量的加法求出

AD

的坐标，由题意和向量相等的条件列出方程，求出a和m的值；
（2）根据△ABC是直角三角形中的内角为直角，分三种情况利用两个向量垂直则数量积为零，列出方程求解，最后把答案和在一起．

解答：解：（1）由题意知，D为BC中点，∴

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

）=（1，

1+a

2

）（2分）
∵

AD

=（m，2），∴

m=1 1+a=2×2

，解得

a=3 m=1

．（7分）
（2）由题意分三种情况求解：
①当A=90°时，即

AB

•

AC

=0，则3×（-1）+1•a=0，解得a=3（9分）
②当B=90°时，∵

BC

=

AC

-

AB

=（-4，a-1）（10分）
∴3×（-4）+1•（a-1）=0，解得a=13（12分）
③当C=90°时，即

AB

•

BC

=0，则-1×（-4）+a•（a-1）=0，解得a无解，
综上，a=3或13（14分）

点评：本题考查了向量的坐标运算和向量相等的条件，还考查了向量垂直是对应的数量积为零以及数量积的坐标运算，利用这些条件列出方程进行求解．