Question

1．（1）已知实数x，y满足不等式x²-2x≥y²-2y，若1≤x≤4，求$\frac{y}{x}$的取值范围；
（2）已知函数f（a）=（3m-1）a+b-2m，当m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1恒成立，求$\frac{9{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知求出x，y的约束条件，根据$\frac{y}{x}$的几何意义求范围；
（2）由已知得到a，b的约束条件0≤b-a≤1且0≤2a+b-2≤1利用线性规划问题求出$\frac{b}{a}$的范围，结合基本不等式求范围．

解答 解：（1）∵x²-2x≥y²-2y，
∴（x-y）（x+y-2）≥0，又1≤x≤4
则$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-2≥0}\\{1≤x≤4}\end{array}}\right.$，
对应的平面区域如图，

而$\frac{y}{x}$的几何意义是过区域上的点和原点的直线斜率，所以当过（4，-2）时斜率最小为-$\frac{1}{2}$，在直线y=x时斜率最大为1，
∴$\frac{y}{x}∈[{-\frac{1}{2}，1}]$…（6分）
（2）f（a）=g（m）=（3a-2）m+b-a，则g（m）∈[0，1]在m∈[0，1]时恒成立，
∴0≤g（0）≤1且0≤g（1）≤1即$\left\{\begin{array}{l}{0≤b-a≤1}\\{0≤2a+b-2≤1}\end{array}\right.$…（8分）
则由线性规划得a，b对应的平面区域如图

所以$t=\frac{b}{a}∈[{1，4}]$，…（10分）
若$\frac{{9{a^2}+{b^2}}}{ab}=t+\frac{9}{t}$，则$h（t）=t+\frac{9}{t}∈[{6，10}]$
故$\frac{{9{a^2}+{b^2}}}{ab}∈[{6，10}]$…（13分）

点评 本题考查了线性规划的运用；关键是明确x，y的约束条件，利用目标函数的几何意义求范围．