Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+lnx
（1）若x=e为y=f（x）-2ex-ax的极值点，求实数a的值
（2）若x₀是函数f（x）的一个零点，且x₀∈（b，b+1），其中b∈N，则求b的值
（3）若当x≥1时f(x)≥c(x-1)+

1

2

，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知函数f(x)=

1

2

x2+lnx，y=f（x）-2ex-ax，我们易求出函数y=f（x）-2ex-ax的解析式，又由进而求出其导函数的解析式，又由x=e为y=f（x）-2ex-ax的极值点，故y'_x=e=0，由此构造关于a的方程，解方程即可求出实数a的值
（2）根据函数单调性的性质，我们易得函数f(x)=

1

2

x2+lnx为增函数，若x₀是函数f（x）的一个零点，利用二分法我们易得在区间（

1

e

，1）上存在函数唯一的零点，则（

1

e

，1）?（b，b+1），又由b∈N，即求出b的值
（3）构造函数g(x)=f(x)-c(x-1)-

1

2

，则问题可转化为当x≥1时函数恒成立问题，分析函数的单调性，求出函数的最值，即可求出c的取值范围．

解答：解：（1）y′=x+

1

x

-2e-a…（2分）
∵y在x=e处取得极值，∴y'_x=e=0即e+

1

e

-2e-a=0解得a=

1

e

-e
经检验a=

1

e

-e符合题意，∴a=

1

e

-e…（4分）
（2）∵f′(x)=x+

1

x

，（x＞0），∴f'（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增…（5分）
又∴f(

1

e

)=

1

2e2

+ln

1

e

=

1

2e2

-1＜0
且f(1)=

1

2

+ln1=

1

2

＞0
由二分法可得x0∈(

1

e

，1)…（7分）
又∵(

1

e

，1)⊆(0，1)
∴b=0…（8分）
（3）设g(x)=f(x)-c(x-1)-

1

2

，g′(x)=x+

1

x

-c，∵x≥1，∴x+

1

x

≥2
（ⅰ）若c≤2，当x≥1时，g′(x)=x+

1

x

-c≥0恒成立
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥1时，g（x）≥g（1），即f(x)≥c(x-1)+

1

2

．…（9分）
若c＞2，方程g'（x）=0有2根
x1=

c- c2-4

2

或x2=

c+ c2-4

2

且x₁＜1＜x₂
此时若x∈（1，x₂），则g'（x）＜0，
故g（x）在该区间为减函数
所以x∈（1，x₂）时，g（x）＜g（1）=0即f(x)＜c(x-1)+

1

2

与题设f(x)≥c(x-1)+

1

2

矛盾
综上，满足条件的c的取值范围是（-∞，2]…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，函数恒成立问题，函数的零点，其中（1）的关键是根据函数在某点取得极值的条件构造方程y'_x=e=0，（2）的关键是用二分法求出在区间（

1

e

，1）上存在函数唯一的零点，（3）的关键是将问题转化为一个函数恒成立问题．