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精英家教网设P(x1,y1),Q(x2,y2) 是抛物线C:y2=2px(p>0)上相异两点,且
OP
OQ
=0
,直线PQ 与x 轴相交于E.
(Ⅰ)若P,Q 到x 轴的距离的积为4,求p的值;
(Ⅱ)若p为已知常数,在x 轴上,是否存在异于E 的一点F,使得直线PF 与抛物线的另一交点为R,而直线RQ 与x 轴相交于T,且有
TR
=3
TQ
,若存在,求出F 点的坐标(用p 表示),若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)由
OP
OQ
=0
,知x1x2+y1y2=0,由P、Q在抛物线上,得
y12y22
4p2
+y1y2=0
,y1y2=-4p2⇒|y1y2|=4p2,又|y1y2|=4,故得y2=2x,设E(a,0)(a≠0),直线PQ方程为x=my+a,联立方程
x=my+a
y2=2px
,得y2-2pmy-2pa=0.由此能导出该抛物线方程及△OPQ的面积的最小值.
(Ⅱ)设E(a,0),直线PQ方程为x=my+a,联立方程组
x=my+a
y2=2px
,得y2-2pmy-2pa=0,由此能导出在x轴上,存在异于E的一点F(6p,0),使得
TR
=3
TQ
解答:解:(Ⅰ)∵
OP
OQ
=0
,则x1x2+y1y2=0,
又P、Q在抛物线上,故y12=2px1,y22=2px2,故得
y12y22
4p2
+y1y2=0

y1y2=-4p2⇒|y1y2|=4p2,又|y1y2|=4,故得4p2=4,p=1.∴y2=2x,…(4分)
设E(a,0)(a≠0),直线PQ方程为x=my+a,联立方程
x=my+a
y2=2px

消去x得y2-2pmy-2pa=0;∴y1y2=-2pa=-4p2,∴a=2p=2,∴S△OPQ=
1
2
|OE|×(|y1|+|y2|)≥
1
2
×2×2
|y1y2|
=4
,∴面积最小值为4.…(6分)
(Ⅱ)设E(a,0),直线PQ方程为x=my+a,联立方程组
x=my+a
y2=2px

消去x得y2-2pmy-2pa=0;∴y1y2=-2pa①
设F(b,0),R(x3,y3),同理可知,y1y3=-2pb②
由①、②可得
y3
y2
=
b
a

TR
=3
TQ
,设T(c,0),则有(x3-c,y3-0)=3(x2-c,y2-0),∴y3=3y2
y3
y2
=3

将④代入③,得b=3a.又由(Ⅰ)知,
OP
OQ
=0
,y1y2=-4p2,代入①,
可得-2pa=-4p2,a=2p.故b=6p.
故知,在x轴上,存在异于E的一点F(6p,0),使得
TR
=3
TQ
.…(12分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列四个命题:①函数f(x)=3sin(2x-
π
3
)
的图象关于点(-
π
6
,0)
对称;②若a≥b>-1,则
a
1+a
b
1+b
;③存在实数x,使x3+x2+1=0;④设P(x1,y1)为圆O1:x2+y2=9上任意一点,圆O2:(x-a)2+(y-b)2=1,当(x1-a)2+(y1-b)2=1时,两圆相切.其中正确命题的序号是
 
.(把你认为正确的都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

设P(x1,y1)为圆O1:x2+y2=9上任意一点,圆O2以Q(a,b)为圆心且半径为1,当(a-x12+(b-y12=1时,圆O1与圆O2的位置关系可能是
②③④
②③④
.(填上你认为正确的序号)
①外离; ②外切;  ③相交;  ④内切; ⑤内含.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
-x2+x,(x≤1)
lnx,(x>1)

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2)是函数f(x)图象上的两点且x1<1,x2>1,若直线PQ是函数f(x)图象的切线且P、Q都是切点,求证:3<x2<4;(参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986)
(Ⅲ)设函数g(x)的定义域为D,区间I⊆D,若函数g(x)在I上可导,对任意的x0∈I,g(x)的图象在(x0,g(x0))处的切线为l,函数g(x)图象上所有的点都在直线l上方或直线l上,则称区间I为函数g(x)的“下线区间”.类比上面的定义,请你写出函数“上线区间”的定义,并根据你所给的定义,判断区间(-∞,
3
8
)是否是函数f(x)的“上线区间”(不必证明).

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科目:高中数学 来源: 题型:

设P(x1,y1),Q(x2,y2)为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上两个不同的动点,圆O的方程为x2+y2=a2
(1)如图,若向圆O内随机投一点A,点A落在椭圆C的概率为
1
2
,椭圆C上的动 点到其焦点的最近距离为2-
3
.椭圆C的面积为πab.
(i)求椭圆C的标准方程;
(ii)若点B(0,1)且
QB
=
OP
,求直线OP的低斜率;
(2)若直线OP和OQ的斜率之积为
b2
a2
,请探点M(x1,x2)与圆O的位置关系,并说明理由.

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