分析 (1)推导出PC⊥AD,从而AD⊥平面PCD,由此能证明平面PAD⊥平面PCD.
(Ⅱ)取AB的中点F,以C为坐标原点,CF为x轴,CD为y轴,CP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
解答 证明:(1)∵PC⊥平面ABC,AD?平面ABCD,
∴PC⊥AD,
又CD⊥AD,∴AD⊥平面PCD,
又AD?平面PAD,
∴平面PAD⊥平面PCD.
解:(Ⅱ)取AB的中点F,连结CF,则CF⊥AB,
如图,以C为坐标原点,CF为x轴,CD为y轴,CP为z轴,建立空间直角坐标系,
则P(0,0,a),(a>0),E($\frac{2\sqrt{3}}{3}$,-$\frac{2}{3}$,$\frac{a}{3}$),
$\overrightarrow{CA}$=($\sqrt{3},1,0$),$\overrightarrow{CP}$=(0,0,a),$\overrightarrow{CE}$=($\frac{2\sqrt{3}}{3}$,-$\frac{2}{3}$,$\frac{a}{3}$),
设$\overrightarrow{m}$=(x,y,z)是平面PAC的一个法向量,
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=az=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,-$\sqrt{3}$,0),
设平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}a+b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a-\frac{2}{3}b+\frac{a}{3}z=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-$\sqrt{3}$,-$\frac{4\sqrt{3}}{a}$),
∵二面角P-AC-E的大小为45°,
∴cos45°=|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{4+\frac{48}{{a}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
解得a=2$\sqrt{3}$,此时$\overrightarrow{n}$=(1,-$\sqrt{3}$,-2),
∴$\overrightarrow{PA}$=($\sqrt{3},1,-2\sqrt{3}$),
设直线PA与平面EAC所成角为θ,
则sinθ=|cos<$\overrightarrow{PA},\overrightarrow{n}$>|=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
点评 本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | an=$\frac{4}{n(n+1)}$ | B. | an=$\frac{2}{n+1}$ | C. | an=$\frac{4}{n+1}$ | D. | an=$\frac{2}{{n}^{2}}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | x2+4x+4>0 | B. | |x|>0 | C. | x2-x+1≥0 | D. | $\frac{1}{x}$-1<$\frac{1}{x}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | $\frac{5}{2}$ | C. | 3 | D. | π |
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