Question

10．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=BC=2CD=2，AD=$\sqrt{3}$，PE=2BE．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若二面角P-AC-E的大小为45°，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PC⊥AD，从而AD⊥平面PCD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）取AB的中点F，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵PC⊥平面ABC，AD?平面ABCD，
∴PC⊥AD，
又CD⊥AD，∴AD⊥平面PCD，
又AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）取AB的中点F，连结CF，则CF⊥AB，
如图，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，a），（a＞0），E（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{a}{3}$），
$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{a}{3}$），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面PAC的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
设平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}a+b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a-\frac{2}{3}b+\frac{a}{3}z=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-$\frac{4\sqrt{3}}{a}$），
∵二面角P-AC-E的大小为45°，
∴cos45°=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{4+\frac{48}{{a}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=2$\sqrt{3}$，此时$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-2），
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{3}，1，-2\sqrt{3}$），
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．