Question

28、（文）已知某函数f（x）=dx³+cx²+bx+a，满足f′（x）=-3x²+3．
（1）求实数d、c、b的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）实数a为何值时，函数f（x）与x轴有只有两个交点．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），令其等于-3x²+3，即可求出d、c和b的值；
（2）令f′（x）小于0求出x的取值范围即函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的取值范围即函数的增区间，即可得到函数的极大极小值；
（3）根据函数的单调性得到极大值大于极小值，且当极大值等于0极小值小于0时或极小值等于0极大值大于0，f（x）与x轴恰有两个交点，即可解出a的值．

解答：解：（1）f′（x）=3dx²+2cx+b=-3x²+3，
∴d=-1，c=0，b=3．
∴f（x）=-x³+3x+a．

（2）f'（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1）．
当x∈（-∞，-1），x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（-1，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）_极小值=f（-1）=a-2；f（x）_极大值=f（1）=a+2．

（3）∵f（x）在x∈（-∞，-1）为减函数，
当x→-∞时，f（x）→+∞；f（x）在x∈（1，∞）为减函数，
当x→+∞时，f（x）→-∞．而a+2＞a-2即f（x）_极大值＞f（x）_极小值．
当f（x）_极大值=0时，有f（x）_极小值＜0，此时f（x）与x轴恰有两个交点，
∴a+2=0，即a=-2；
当f（x）_极小值=0时，有f（x）_极大值＞0，此时f（x）与x轴也恰有两个交点．
∴a-2=0，即a=2．
综上所述a=2或a=-2时，函数f（x）与x轴有只有两个交点．

点评：本题考查学生掌握函数取极值时满足的条件，会利用导数研究函数的单调性得到函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道综合题．