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28、(文)已知某函数f(x)=dx3+cx2+bx+a,满足f′(x)=-3x2+3.
(1)求实数d、c、b的值;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)实数a为何值时,函数f(x)与x轴有只有两个交点.
分析:(1)求出f′(x),令其等于-3x2+3,即可求出d、c和b的值;
(2)令f′(x)小于0求出x的取值范围即函数的减区间,令f′(x)大于0求出x的取值范围即函数的增区间,即可得到函数的极大极小值;
(3)根据函数的单调性得到极大值大于极小值,且当极大值等于0极小值小于0时或极小值等于0极大值大于0,f(x)与x轴恰有两个交点,即可解出a的值.
解答:解:(1)f′(x)=3dx2+2cx+b=-3x2+3,
∴d=-1,c=0,b=3.
∴f(x)=-x3+3x+a.

(2)f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1).
当x∈(-∞,-1),x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈(-1,1)时,f'(x)>0,f(x)为增函数.
∴f(x)极小值=f(-1)=a-2;f(x)极大值=f(1)=a+2.

(3)∵f(x)在x∈(-∞,-1)为减函数,
当x→-∞时,f(x)→+∞;f(x)在x∈(1,∞)为减函数,
当x→+∞时,f(x)→-∞.而a+2>a-2即f(x)极大值>f(x)极小值
当f(x)极大值=0时,有f(x)极小值<0,此时f(x)与x轴恰有两个交点,
∴a+2=0,即a=-2;
当f(x)极小值=0时,有f(x)极大值>0,此时f(x)与x轴也恰有两个交点.
∴a-2=0,即a=2.
综上所述a=2或a=-2时,函数f(x)与x轴有只有两个交点.
点评:本题考查学生掌握函数取极值时满足的条件,会利用导数研究函数的单调性得到函数的极值,掌握导数在最大值、最小值问题中的应用,是一道综合题.
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