Question

已知函数f(x)=4sin2x•sin2(x+

π

4

)+cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若g(x)=f(x+φ)，(-

π

2

＜φ＜

π

2

)在x=

π

3

处取得最大值，求φ的值；
（Ⅲ）求y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据题意表示出g（x）解析式，根据正弦函数的性质以及x=

π

3

处取得最大值，确定出φ的值即可；
（Ⅲ）根据第二问确定出的g（x）解析式，根据正弦函数的单调性即可确定出g（x）的单调递增区间．

解答：解（Ⅰ）f（x）=4sin2x•

1-cos(2x+ π 2 )

2

+cos4x=2sin2x+2sin²2x+1-2sin²2x=2sin2x+1，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
则f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）根据题意得：g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ）+1，
当2x+2φ=

π

2

+2kπ，k∈Z时取得最大值，将x=

π

3

代入上式，
解得：φ=-

π

12

+kπ，k∈Z，
∴φ=-

π

12

；
（Ⅲ）根据第二问得：g（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数g（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．