Question

已知动圆过定点A（1，0），且在y轴上截得弦MN的长为2．
（1）求动圆圆心的轨迹O₁的方程；
（2）若P是动圆圆心的轨迹O₁上的动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=4，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用两点间的距离公式即可得出；
（2）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB：y-b=y-b=

y0-b

x0

x，化简，得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，由此导出（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理，（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，所以（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，从而得到S_△PBC=

1

2

（b-c）x₀，由此能求出△PBC面积的最小值．

解答： 解：（1）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=1，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-1）²+y²=1²+x²，化为y²=2x；
（2）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），设b＞c．
直线PB的方程：y-b=

y0-b

x0

x，
化简，得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圆心（1，0）到直线PB的距离是1，
∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
∴（y₀-b）²+x₀²=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x₀²b²，
∵x₀＞2，上式化简后，得
（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理，（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
∴b+c=

-2y0

x0-2

，bc=-

x0

x0-2

，
∴（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，
∵P（x₀，y₀）是抛物线上的一点，
∴y₀²=2x₀，
∴（b-c）²=

4x02

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

，
∴S_△PBC=

1

2

（b-c）x₀=（x₀-2）+

4

x0-2

+4≥2

4

+4=8．
当且仅当x₀-2=

4

x0-2

时，取等号．
此时x₀=4，y₀=±2

2

．
∴△PBC面积的最小值为8．

点评：本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质，考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到垂径定理、两点间的距离公式、抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．