Question

如图，过抛物线y²=4x的焦点任作一条直线交抛物线于A，D两点，若存在一定圆与直线交于B，C两点，使|AB|•|CD|=1，则定圆方程为

（x-1）²+y²=1

．

Answer 1

分析：求出抛物线焦点F（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线BC方程与抛物线y²=4x联解，证出x₁x₂=1．根据抛物线的定义，得|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，结合|AB|•|CD|=1恒成立，通过比较系数可得|BF|=|CF|=1，所以B、C在以F为圆心，半径为1的圆上，由此不难确定所求圆的方程．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），抛物线焦点为F
∵抛物线方程为y²=4x
∴2p=4，得

p

2

=1，所以F（1，0），直线BC方程可设为y=k（x-1）
由

y=k(x-1) y2=4x

消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
结合根与系数的关系，得x₁x₂=

k2

k2

=1
根据抛物线定义，得|AF|=x₁+

p

2

=x₁+1，|DF|=x₂+1，
∵不论直线BC怎样变化，恒有|AB|•|CD|=（|AF|-|BF|）（|DF|-|CF|）=1，
∴（x₁+1-|BF|）（x₂+1-|CF|）=1，结合x₁x₂=1，得|BF|=|CF|=1
因此不论直线BC如何变化，总有点B、C到F的距离总等于1，说明B、C在以F为圆心，半径为1的圆上，所以定圆方程为（x-1）²+y²=1
故答案为：（x-1）²+y²=1

点评：本题给出抛物线的焦点弦被定圆截得四条线段，在线段的积为定值的情况下求圆的方程，着重考查了抛物线的简单性质、直线与抛物线的位置关系和圆的标准方程等知识，属于中档题．