【题目】“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的
，全世界近
人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准
（吨）：一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中
的值；
（2）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使
的居民每月的用水不按议价收费，估计的值，并说明理由．
【答案】(1)
；(2)
万；(3)
吨.
【解析】
（1）通过频率之和为
，构造方程求得结果；（2）计算出样本中不低于
吨人数占比，从而求得全市的人数；（3）由频率分布直方图频率分布可知
，然后根据平均分布列方程求得相应结果.
（1）由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为
即频率分布直方图各小矩形面积之和为
解得：
（2）由图可知，不低于吨人数所占百分比为
全市月均用水量不低于吨的人数为：
（万）
（3）由（2）可知，月均用水量小于吨的居民人数所占百分比为：
即的居民月均用水量小于吨，同理，
的居民月均用水量小于
吨
故
假设月均用水量平均分布，则
（吨）
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差
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【题目】已知椭圆
的两个焦点
，
与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线
与圆
相切.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知过椭圆
的左顶点
的两条直线
，
分别交椭圆于
，
两点，且
，求证：直线
过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求
面积的最大值.
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【题目】近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率.
（1）若在该市场随机选取3个2018年成交的二手电脑，求至少有2个使用时间在
上的概率；
（2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图，其中
（单位：年）表示折旧电脑的使用时间，
（单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格.
（ⅰ）由散点图判断，可采用
作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限的回归方程，若
，
，选用如下参考数据，求关于的回归方程.
|
|
|
|
|
|
5.5 | 8.5 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
（ⅱ）根据回归方程和相关数据，并用各时间组的区间中点值代表该组的值，估算该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用
附：参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.参考数据：
，
，
，
，
.
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【题目】若无穷数列
满足:对任意两个正整数
,
与
至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.
(Ⅰ)求证:若数列
为等差数列,则为“和谐数列”;
(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第
项起为等差数列;
(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足
,且存在
使得
，
,求p的所有可能值.
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【题目】十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数
时，关于
、
、
的方程
没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁
怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（ ）
①对任意正整数
，关于、、的方程都没有正整数解；
②当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；
③当正整数
时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；
④若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数；
A.①②/span>B.①③C.②④D.③④
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【题目】已知抛物线
，直线
与E交于A、B两点，且
，其中O为原点.
（1）求抛物线E的方程；
（2）点C坐标为
，记直线CA、CB的斜率分别为
，证明： 
为定值.
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【题目】为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记． 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：
普查对象类别 | 顺利 | 不顺利 | 合计 |
企事业单位 | 40 | 10 | 50 |
个体经营户 | 100 | 50 | 150 |
合计 | 140 | 60 | 200 |
（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有
的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）以频率作为概率， 某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为
， 写出的分布列，并求的期望值．
附：
| 0.10 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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