Question

若等比数列{a_n}的前n项和S n=3×2n+a（a为常数），则

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

3（4ⁿ-1）

．

Answer 1

分析：由题意可得a₁=S₁=6+a，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×2^n-1，可得a值，进而可得数列{an2}是以a12=9为首项，q²=4为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式可得答案．

解答：解：由题意可得：当n=1时，a₁=S₁=6+a，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×2ⁿ-3×2^n-1=3×2^n-1，
由于数列{a_n}为等比数列，故3×2^1-1=6+a，解得a=-3，
故数列{a_n}是以a₁=3为首项，q=2为公比的等比数列，
故数列{an2}是以a12=9为首项，q²=4为公比的等比数列，
故

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

9(1-4n)

1-4

=3（4ⁿ-1）
故答案为：3（4ⁿ-1）

点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的判定，属中档题．