Question

在四棱锥P-ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，

AB

AD

=

2

，直线PA与底面ABCD成60°角，点M，N分别是PA，PB的中点．
（1）求二面角P-MN-D的大小；
（2）当

CD

AB

的值为多少时，△CDN为直角三角形．

Answer 1

分析：（1）由已知中AD⊥AB，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，我们可得∠PMD为二面角P-MN-D的平面角．由线PA与底面ABCD成60°角，进而可以得到，△PMD为等腰三角形，∠PMD=120°即二面角P-MN-D的大小；
（2）若，△CDN为直角三角形，则必有CN⊥DN，连BD，设AD=a，我们可以得到Rt△BD∽Rt△CDB，然后根据相似三角形的性质得到

CD

AB

的值．

解答：解：（1）由已知AD⊥AB，PD⊥AB，得AB⊥平面PAD，
又MN∥AB，∴MN⊥平面PAD，MN⊥PM，MN⊥DM
∴∠PMD为二面角P-MN-D的平面角．（3分）
由已知∠PAD=60°，得∠MPD=30°，
∵DM是Rt△PDA斜边PA上的中线，MD=MP
∴△PMD为等腰三角形，∠PMD=120°，
即二面角P-MN-D的大小为120°．（7分）
（2）显然∠DCN≠90°．若∠CDN=90°，则CD⊥平面PAN，
而CD⊥平面PAD，故平面PAN与平面PAD重合，与题意不符．
由△CDN是Rt△，则必有CN⊥DN，
连BD，设AD=a，由已知得AB=

2

a，从而BD=

3

a，
又PD=ADtan60°

3

a，
∴PD=BD，得DN⊥PB，
故DN⊥平面PBC，（10分）
∴DN⊥BC，又PD⊥BC，
∴BC⊥平面PBD，
∴BD⊥BC，反之亦然．
∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，
∴Rt△BD∽Rt△CDB（12分）
∴

CD

BD

=

BD

AB

CD=

BD2

AB

CD

AB

=

BD2

AB2

=

3

2

．（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是得到∠PMD为二面角P-MN-D的平面角，而（2）的关键是得到Rt△BD∽Rt△CDB．