Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2-2ax+b(a，b∈R)
（1）试求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=2处有极值，且f（x）图象与直线y=4x有三个公共点，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，讨论a的正负，然后解f'（x）＞0的解集，从而求出函数的单调递增区间；
（2）先根据极值求出a的值，令g(x)=f(x)-4x=

1

3

x3-

1

2

x2-6x+b，然后利用导数求出函数的两个极值点，要使f（x）图象与y=4x有三个公共点，只需极大值大于0，极小值小于0，建立关系式，即可求出b的范围．

解答：解：（1）f'（x）=ax²-x-2a
当a=0时，f'（x）=-x＞0?x＜0
当a≠0时，△=1+8a²＞0，方程f'（x）=0有不相等的两根为x1，x2=

1± 1+8a2

2a

1°当a＞0时，f′(x)＞0?x＜

1- 1+8a2

2a

或x＞

1+ 1+8a2

2a

2°当a＜0时，f′(x)＞0?

1+ 1+8a2

2a

＜x＜

1- 1+8a2

2a

综上：当a=0时，f（x）在（-∞，0）上递增
当a＞0时，f（x）在(-∞，

1- 1+8a2

2a

)，(

1+ 1+8a2

2a

，+∞)上递增
当a＜0时，f（x）在(

1+ 1+8a2

2a

，

1- 1+8a2

2a

)上递增
（2）∵f（x）在x=2处有极值，∴f'（2）=0，∴a=1
令g(x)=f(x)-4x=

1

3

x3-

1

2

x2-6x+b
∴g'（x）=x²-x-6=0?x=-2或3g'（x）＞0?x＜-2或x＞3g'（x）＜0?-2＜x＜3
∴g（x）在x=-2处有极大值，在x=3处有极小值
要使f（x）图象与y=4x有三个公共点
则

g(-2)＞0 g(3)＜0

?-

22

3

＜b＜

27

2

，即b的取值范围为(-

22

3

，

27

2

)

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数在某点取得极值的条件和函数图象的交点问题，同时考查了计算能力，转化的数学思想，属于中档题．