Question

已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足

OC

=λ

OA

+（1-λ）

OB

（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：点C在线段AB上；
（Ⅱ）求

CM

•

CN

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于

OC

=λ

OA

+（1-λ）

OB

（0＜λ＜1），可得

OC

-

OB

=λ(

OA

-

OB

)，即

BC

=λ

BA

，由于0＜λ＜1，可得

BC

，

BA

同向平行，且|

BC

|＜|

BA

|，即可证明．
（Ⅱ）利用向量的数量积运算可得

CM

•

CN

=(

OM

-

OC

)•(

ON

-

OC

)=

OM

•

ON

-

OC

•(

OM

+

ON

)+

OC

2=-1+

OC

2．由于∠AOB=120°，点C在线段AB上，可得|

OC

|∈[

1

2

，1)，即可得出．

解答：（Ⅰ）证明：∵

OC

=λ

OA

+（1-λ）

OB

（0＜λ＜1），
∴

OC

-

OB

=λ(

OA

-

OB

)，即

BC

=λ

BA

，
∵0＜λ＜1，
∴

BC

，

BA

同向平行，且|

BC

|＜|

BA

|，
∴点C在线段AB上；
（Ⅱ）解：

CM

•

CN

=(

OM

-

OC

)•(

ON

-

OC

)=

OM

•

ON

-

OC

•(

OM

+

ON

)+

OC

2=-1+

OC

2．
∵∠AOB=120°，点C在线段AB上；
∴|

OC

|∈[

1

2

，1)，
∴

CM

•

CN

∈[-

3

4

，0)．

点评：本题考查了向量数量积运算和共线定理，属于中档题．